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(n^2+1) (5n^2+9) は整数の2乗とならないことを示せ(n : 自然数)


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何十年ぶりに数学の整数問題を解いてみました。

数式の入力方法が分からず、すべて画像のため読みづらいと思いますが、ご容赦ください。

 

 

問題

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東京大学

n は1以上の整数とする。

(1) n2 + 1 と 5n2 + 9 の最大公約数 dn を求めよ。

(2) ( n2 + 1 ) ( 5n2 + 9 ) は整数の2乗とならないことを示せ。

 

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解答例

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(1)

n2 + 1 = adn  ---- (A)、5n2 + 9 = bdn  ---- (B) (a,bは整数)と表せる。

nは1以上の整数なので、n2 + 1 も 5n2 + 9 も正の整数であり、 a,b,dn も正の整数であるといえる。

(A)式の両辺を5倍して(B)式の両辺を差し引きする( (B) - 5×(A) )と、

      4 = bdn - 5adn = dn( b - 5a )

となる。

よって、最大公約数dnは正の整数であることから、4か2か1のいずれかとなる。

① n が偶数のとき
n = 2c (cは正の整数) とすると、
      n2 + 1 = 4c2 + 1 = 2×2c2 + 1
      5n2 + 9 = 5×4c2 + 9 = 4(5c2 + 2) + 1 = 2(10c2 + 4) + 1
となり、4でも2でも割り切れることはないので、最大公約数 dn = 1 。
② n が奇数のとき
n = 2c - 1 (cは正の整数) とすると、
      n2 + 1 = ( 2c - 1 )2 + 1 = 4( c2 - c ) + 2 = 2( 2c2 - 2c + 1 )
      5n2 + 9 = 5( 2c - 1 )2 + 9 = 4( 5c2 - 5c + 3 ) + 2 = 2( 10c2 - 10c + 7 )
となり、4では割り切れないが2で割り切れるので、最大公約数 dn = 2 。

(2)

① n が偶数のとき
 n2 + 1 と 5n2 + 9 は互いに素であることから、 ( n2 + 1 ) ( 5n2 + 9 ) が平方数である場合、 n2 + 1 も 5n2 + 9 もそれぞれ平方数となる。
しかし、 n が正の整数である限り n2 < n2 + 1 < n2 + 2n + 1 = (n + 1)2 であることから、 n2 + 1 が平方数となることはない。
よって、 ( n2 + 1 ) ( 5n2 + 9 ) が平方数になることはない。
② n が奇数のとき
 n2 + 1 と 5n2 + 9 は共に4では割り切れず、最大公約数が2であることから、
 ( n2 + 1 ) ( 5n2 + 9 ) が平方数である場合、
      n2 + 1 = 2p2  ---- (C)、5n2 + 9 = 2q2 ----  (D) (pとqは奇数)
と表すことができる。
(D)式の両辺から(C)式の両辺を差し引きすると 4n2 + 8 = 2q2 - 2p2 となり、整理すると 4(n2 + 2) = 2(q2 - p2) となる。
両辺を2で割ると 2(n2 + 2) = q2 - p2 = (q + p)(q - p) ---- (E)
pとqは共に奇数のため、 q + p も q - p も共に偶数である。
よって、 q2 - p2 = (q + p)(q - p) は4で割り切れる。
一方、nが奇数であることから n2 + 2 は奇数である。
よって、 2(n2 + 2) は偶数であるものの4で割り切れない。
これらから、 (E)式は矛盾しているといえる。
よって、 ( n2 + 1 ) ( 5n2 + 9 ) が平方数になることはない。

 

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説明

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